https://blog.chungzh.cn/blog/treap/Recent content in Treap on Zirnc's BlogHugo -- gohugo.iozh-cnWed, 09 Feb 2022 00:00:00 +0000https://blog.chungzh.cn/oi-history/treap/Wed, 09 Feb 2022 00:00:00 +0000https://blog.chungzh.cn/oi-history/treap/Treap = Tree + Heap 二叉搜索树（BST） 在学习 Treap 之前，需要先了解一下二叉搜索树（BST, Binary Search Tree）： 设 $x$ 是二叉搜索树中的一个结点。如果 $y$ 是 $x$ 左子树中的一个结点，那么 $y.key \lt x.key$。如果 $y$ 是 $x$ 右子树中的一个结点，那么 $y.key \gt x.key$。 BST 上的基本操作所花费的时间与这棵树的高度成正比。对于一个有 $n$ 个结点的二叉搜索树中，这些操作的最优时间复杂度为 $O(\log n)$，最坏为 $O(n)$。随机构造这样一棵二叉搜索树的期望高度为 $O(\log n)$。然而，当这棵树退化成链时，则同样的操作就要花费 $O(n)$ 的最坏运行时间。 由于普通 BST 容易退化，对于它的实现就不再赘述。在实践中需要使用如 Treap 这样的平衡二叉搜索树。 Treap 顾名思义，Treap 是树和堆的结合。它的数据结构既是一个二叉搜索树，又是一个二叉堆。 在 Treap 的每个结点中，除了 $key$ 值，还要保存一个 $fix$（更常见的是 $priority$）值。这个值是随机值，以它为依据来同时建立最大堆（或最小堆）。因为 $fix$ 值是随机的，所以可以让这棵树更加平衡，高度更接近 $O(\log n)$。它的各种操作期望时间复杂度都是 $O(\log n)$。 旋转式 Treap 旋转式 Treap 的常数较小。