https://blog.chungzh.cn/blog/dp/Recent content in DP on Zirnc's BlogHugo -- gohugo.iozh-cnSun, 21 May 2023 00:00:00 +0000https://blog.chungzh.cn/oi-history/cf-559c/Sun, 21 May 2023 00:00:00 +0000https://blog.chungzh.cn/oi-history/cf-559c/CF-559C Gerald and Giant Chess / AtCoder DP-Y Grid 2 给定一个 $H*W$ 的棋盘，棋盘上只有 $N$ 个格子是黑色的，其他格子都是白色的。在棋盘左上角有一个卒，每一步可以向右或者向下移动一格，并且不能移动到黑色格子中。求这个卒从左上角移动到右下角，一共有多少种可能的路线。 $(1 ≤ h, w ≤ 105, 1 ≤ n ≤ 2000)$ $O(hw)$ 的暴力 DP 很好想，但是过不了。 假设没有障碍，从 $(1, 1)$ 到 $(i, j)$ 的方案数是 $C_{i+j-2}^{i-1}$（等于 $C_{i+j-2}^{j-1}$）。可以这么理解：可以用 $D, R$ 来表示一条路径，那么从 $(1, 1)$ 到 $(i, j)$ 的路径中有 $i-1$ 个 $D$ 和 $j-1$ 个 $R$。于是问题转化为从 $i+j-2$ 个位置中选 $i-1$ 个放 $D$ 的方案数。 如果有一个障碍，从正面统计方案数很困难，正难则反，考虑将总的方案数减去经过障碍的方案数。假设障碍的位置是 $(x, y)$，终点是 $(h, w)$，经过障碍的方案数就是 $C_{x+y-2}^{x-1} * C_{h-x+w-y}^{h-x}$（乘法原理）。https://blog.chungzh.cn/oi-history/slope-opt-dp/Sat, 13 Aug 2022 21:59:00 -0800https://blog.chungzh.cn/oi-history/slope-opt-dp/X(j) 和斜率均单调的斜率优化 这是第一次学斜率优化学会的。 例题 [HNOI2008]玩具装箱 Luogu LOJ 题目描述： P 教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。 P 教授有编号为 $1 \cdots n$ 的 $n$ 件玩具，第 $i$ 件玩具经过压缩后的一维长度为 $C_i$。 为了方便整理，P 教授要求： 在一个一维容器中的玩具编号是连续的。 同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物。形式地说，如果将第 $i$ 件玩具到第 $j$ 个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 $x=j-i+\sum\limits_{k=i}^{j}C_k$。 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为 $x$，其制作费用为 $(x-L)^2$。其中 $L$ 是一个常量。P 教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过 $L$。但他希望所有容器的总费用最小。 $1 \leq n \leq 5 \times 10^4$，$1 \leq L \leq 10^7$，$1 \leq C_i \leq 10^7$。 朴素 DP 做法 令状态 $f(i)$ 表示把前 $i$ 个玩具装箱的最小费用，$s(i)$ 为 $c_i$ 的前缀和。 假如将玩具 $j$ 到 $i$ 装在同一箱子，容易列出状态转移方程 $f(i) = \min_{1\le j\le i}{f(j-1)+(i-j+s(i)-s(j-1)-L)^2}$。https://blog.chungzh.cn/oi-history/luogu-p1776/Fri, 12 Aug 2022 00:00:00 +0000https://blog.chungzh.cn/oi-history/luogu-p1776/Luogu-P1776 宝物筛选 题意 终于，破解了千年的难题。小 FF 找到了王室的宝物室，里面堆满了无数价值连城的宝物。 这下小 FF 可发财了，嘎嘎。但是这里的宝物实在是太多了，小 FF 的采集车似乎装不下那么多宝物。看来小 FF 只能含泪舍弃其中的一部分宝物了。 小 FF 对洞穴里的宝物进行了整理，他发现每样宝物都有一件或者多件。他粗略估算了下每样宝物的价值，之后开始了宝物筛选工作：小 FF 有一个最大载重为 $W$ 的采集车，洞穴里总共有 $n$ 种宝物，每种宝物的价值为 $v_i$，重量为 $w_i$，每种宝物有 $m_i$ 件。小 FF 希望在采集车不超载的前提下，选择一些宝物装进采集车，使得它们的价值和最大。 对于 $100%$ 的数据，$n\leq \sum m_i \leq 10^5$，$0\le W\leq 4\times 10^4$，$1\leq n\le 100$。 解法 1：二进制优化 每一个数都可以表示成 $2$ 的幂的和（因为每一个数都可以用二进制表示）。 时间复杂度：$O(nW\sum \log m_i)$ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 #include <bits/stdc++.https://blog.chungzh.cn/oi-history/luogu-p2254/Fri, 12 Aug 2022 00:00:00 +0000https://blog.chungzh.cn/oi-history/luogu-p2254/「NOI2005」瑰丽华尔兹 题意 不妨认为舞厅是一个 $N$ 行 $M$ 列的矩阵，矩阵中的某些方格上堆放了一些家具，其他的则是空地。钢琴可以在空地上滑动，但不能撞上家具或滑出舞厅，否则会损坏钢琴和家具，引来难缠的船长。每个时刻，钢琴都会随着船体倾斜的方向向相邻的方格滑动一格，相邻的方格可以是向东、向西、向南或向北的。而艾米丽可以选择施魔法或不施魔法：如果不施魔法，则钢琴会滑动；如果施魔法，则钢琴会原地不动。 艾米丽是个天使，她知道每段时间的船体的倾斜情况。她想使钢琴在舞厅里滑行的路程尽量长，这样 1900 会非常高兴，同时也有利于治疗托尼的晕船。但艾米丽还太小，不会算，所以希望你能帮助她。 $100%$ 的数据中，$1\leq N, M \leq 200$，$K \leq 200$，$T\leq 40000$。 分析 首先我们定义一下状态。设 $dp[t][i][j]$ 表示 t 时刻，在 $(i, j)$ 滑行的最长路程长度。状态转移方程是 $dp[t][i][j] = \max(dp[t-1][i][j], dp[t-1][i^{’}][j^{’}])$，$i^{’}$ 和 $j^{’}$ 是合法的走过来的位置，取决于 $t$ 时刻船体倾斜的方向。 这样设计状态的话，时间复杂度为 $O(TNM)$，空间似乎也是问题。 这时候我们发现还有一个变量 $K$ 没有用到，考虑把状态设为 $dp[t][i][j]$ 表示在第 $t$ 时间段内，在 $(i, j)$ 滑行的最长路程长度。时间复杂度为 $O(KN^3)$，暂时还不行。 我们看看能不能进一步优化。下面假设当前船体倾斜的方向是东。设当前时间段长度是 $tim$，上一个时间段钢琴的位置在 $(i, m)$，那么 $dp[t][i][j] = \max_{j-m<=tim}{dp[t-1][i][m]+j-m}$。在这个式子中，只有 $m$ 一个变量，并且 $j-m<=tim$，合法决策在一段相邻区间内，可以用到单调队列优化！ 对于两个决策 $m_1 < m_2$，$m_2$ 优于 $m_1$ 时仅当： $$ \begin{aligned} dp[t-1][i][m_1]+(j-m_1) & < dp[t-1][i][m_2]+(j-m_2) \\ dp[t-1][i][m+1]+m_2-m_1 & < dp[t-1][i][m_2] \end{aligned} $$