https://blog.chungzh.cn/blog/%E8%B4%B9%E7%94%A8%E6%B5%81/Recent content in 费用流 on Zirnc's BlogHugo -- gohugo.iozh-cnSat, 29 Jul 2023 00:00:00 +0000https://blog.chungzh.cn/oi-history/flow/Sat, 29 Jul 2023 00:00:00 +0000https://blog.chungzh.cn/oi-history/flow/最大流 概念 容量：$capacity(e)$ 表示一条有向边 $e(u, v)$ 的最大允许的流量。 流量：$flow(e)$ 表示一条有向边 $e(u, v)$ 总容量中已被占用的流量。 剩余流量（残量）：$w(e) = c(e)-f(e)$，表示当前时刻某条有向边 $e(u, v)$ 总流量中未被占用的部分。 反向边：原图中每一条有向边在残量网络中都有对应的反向边，反向边的容量为 $0$，容量的变化与原边相反；『反向边』的概念是相对的，即一条边的反向边的反向边是它本身。 残量网络：在原图的基础之上，添加每条边对应的反向边，并储存每条边的当前流量。残量网络会在算法进行的过程中被修改。 增广路（augmenting path）：残量网络中从源点到汇点的一条路径，增广路上所有边中最小的剩余容量为增广流量。 增广（augmenting）：在残量网络中寻找一条增广路，并将增广路上所有边的流量加上增广流量的过程。 层次：$level(u)$ 表示节点 $u$ 在层次图中与源点的距离。 层次图：在原残量网络中按照每个节点的层次来分层，只保留相邻两层的节点的图，满载（即流量等于容量）的边不存在于层次图中。 流的三个重要性质： 容量限制：对于每条边，流经该边的流量不得超过该边的容量，即，$f(u,v)\leq c(u,v)$ 斜对称性：每条边的流量与其相反边的流量之和为 0，即 $f(u,v)=-f(v,u)$ 流守恒性：从源点流出的流量等于汇点流入的流量，即 $\forall x\in V-{s,t},\sum_{(u,x)\in E}f(u,x)=\sum_{(x,v)\in E}f(x,v)$ 最大流问题：指定合适的流 $f$，以最大化整个网络的流量（即 $\sum_{(s,v)\in E}f(s,v)$）。 Ford-Fulkerson 增广 增广路指一条从 $s$ 到 $t$ 的路径，路径上每条边残余容量都为正。把残余容量为正（$w(u, v) \gt 0$）的边设为可行边，然后搜索寻找增广路。 找到一条增广路后，这条路能够增广的流值由路径上边的最小残留容量 $w(u, v)$（记为 $flow$）决定。将这条路径上每条边的 $w(u, v)$ 减去 $flow$。最后，路径上每条边的反向边残留容量要加上 $flow$。 为什么增广路径上每条边的反向边的残留容量值要加上 $flow$？因为斜对称性，残量网络=容量网络-流量网络，容量网络不变时，流量网络上的边的流量增加 $flow$，反向边流量减去 $flow$，残量网络就会发生相反的改变。从另一个角度来说，这个操作可以理解为「退流」，给了我们一个反悔的机会，让增广路的顺序不受限制。https://blog.chungzh.cn/oi-history/flow-sol/Sat, 29 Jul 2023 00:00:00 +0000https://blog.chungzh.cn/oi-history/flow-sol/最大流 Luogu-P1231 教辅的组成 三倍经验： Luogu-P1402 酒店之王 / Luogu-P2891 [USACO07OPEN] Dining G 一眼丁真建图：S->练习册->书->答案->T 然而是错的。很明显，书有可能被多次匹配，与题意不符。 正确的建图：S->练习册->书（拆点）->答案->T 为什么中间层的书要拆点呢？因为一本书不能被重复选用。我们的目的是保证一本书流出的流量只能是 $1$。所以我们把每个代表书的点拆成两个点，左边的点和练习册连边，右边的点和答案连边；左右对应点之间也要连一条容量为 $1$ 的边。 Luogu-P2764 最小路径覆盖问题 定理：最小路径覆盖数=$|G|$-二分图最大匹配数 首先我们假设现在原图内每个点都是一条路径，此时最少路径数为 $n$。 考虑合并路径，当且仅当两条路径首尾相连的时候可以合并。 将点 $x$ 拆成出点 $x$ 和入点 $x+n$，当我们连接 $u, v$ 时，转化为连接 $u, v+n$。将 $S$ 与所有 $u$ 连边，将所有 $u+n$ 与 $T$ 连边。所有边的容量都为 $1$。 在一开始每个点都是一条独立的路径，每次合并将两条路径合并为一条路径，那么最终路径即为点数减去最大匹配数，这样求得的路径覆盖即为最小路径覆盖。 对于输出路径，用 to 记录下一个节点，tag 标记该节点前面是否还有点。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 ll dfs(int u, int t, ll flow) { if (u == t) return flow; ll ans = 0; vis[u] = 1; for (int &i = cur[u]; ~i; i = e[i].