https://blog.chungzh.cn/blog/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E7%AD%9B/Recent content in 线性筛 on Zirnc's BlogHugo -- gohugo.iozh-cnSat, 01 Apr 2023 00:00:00 +0000https://blog.chungzh.cn/oi-history/euler/Sat, 01 Apr 2023 00:00:00 +0000https://blog.chungzh.cn/oi-history/euler/定义 欧拉函数 $\varphi(n)$ 表示小于等于 $n$，且与 $n$ 互质的正整数的个数。 如何求 $\varphi(n)$？ 比如 $varphi(12)$ 把 $12$ 质因数分解，$12=2^2*3$，其实就是得到了 $2$ 和 $3$ 两个互异的质因子。 然后把 $2$ 的倍数和 $3$ 的倍数都删掉。 $2$ 的倍数：$2,4,6,8,10,12$ $3$ 的倍数：$3,6,9,12$ 但是是 $6$ 和 $12$ 重复减了。所以还要把既是 $2$ 的倍数又是 $3$ 的倍数的数加回来。所以这样写：$12 - 12/2 - 12/3 + 12/(2*3)$。运用了容斥原理。 性质 欧拉函数是积性函数。 积性是什么意思呢？如果有 $\gcd(a, b) = 1$，那么 $\varphi(a \times b) = \varphi(a) \times \varphi(b)$。 特别地，当 $n$ 是奇数时 $\varphi(2n) = \varphi(n)$。 $n = \sum_{d \mid n}{\varphi(d)}$。