https://blog.chungzh.cn/blog/%E6%A0%91%E9%93%BE%E5%89%96%E5%88%86/Recent content in 树链剖分 on Zirnc's BlogHugo -- gohugo.iozh-cnSat, 25 Feb 2023 00:00:00 +0000https://blog.chungzh.cn/oi-history/hld/Sat, 25 Feb 2023 00:00:00 +0000https://blog.chungzh.cn/oi-history/hld/树链剖分（本文仅介绍 重链剖分（Heavy-Light Decomposition））的用途： 更新树上两点之间的路径上的所有点的值 求树上两点之间的路径上的最大值、最小值、和（或任意满足结合律的运算） 思想 树链剖分即把整棵树剖分成若干条链，然后用线段树等数据结构来维护链上的信息。重链剖分可以将树上的任何一条路径划分成不超过 $O(\log n)$ 条连续的链。 定义： 重子节点 表示其子节点中子树最大的子结点。如果有多个子树最大的子结点，取其一。如果没有子节点，就无重子节点。 轻子节点 表示剩余的所有子结点。 从这个结点到重子节点的边为 重边。 到其他轻子节点的边为 轻边。 若干条首尾衔接的重边构成 重链。 把落单的结点也当作重链，那么整棵树就被剖分成若干条重链。 性质 树上每个节点都属于且仅属于一条重链。 重链开头的结点不一定是重子节点（因为重边是对于每一个结点都有定义的）。 所有的重链将整棵树 完全剖分。 在剖分时 重边优先遍历，最后树的 DFN 序上，重链内的 DFN 序是连续的。按 DFN 排序后的序列即为剖分后的链。 一颗子树内的 DFN 序是连续的。 可以发现，当我们向下经过一条 轻边 时，所在子树的大小至少会除以二。 因此，对于树上的任意一条路径，把它拆分成从 $lca$ 分别向两边往下走，分别最多走 $O(\log n)$ 次，因此，树上的每条路径都可以被拆分成不超过 $O(\log n)$ 条重链。 实现 模板 RECORD。