https://blog.chungzh.cn/blog/%E6%A0%91%E7%9A%84%E9%87%8D%E5%BF%83/Recent content in 树的重心 on Zirnc's BlogHugo -- gohugo.iozh-cnTue, 02 Aug 2022 00:00:00 +0000https://blog.chungzh.cn/oi-history/centroid-decomposition/Tue, 02 Aug 2022 00:00:00 +0000https://blog.chungzh.cn/oi-history/centroid-decomposition/点分治，外国人称之为 Centroid decomposition，重心分解。 何为树的重心 学习重心分解之前，自然要先了解重心。 下面统一用 $n$ 表示树上结点的个数。 在一棵树中，如果删除一个顶点后得到的最大子树的顶点数最少，那么这个点就是树的重心（Centroid）。 重心的性质： 删除重心后得到的所有子树，其顶点数必然不超过 $n/2$。 证明：选取任意顶点作为起点，每次都沿着边向最大子树的方向移动，最终一定会到达某个顶点，将其删除后得到的所有子树的顶点数都不超过 $n/2$。如果这样的点存在的话，那么也就可以证明删除重心后得到的所有子树的顶点数都不超过 $n/2$。 记当前顶点为 $v$，如果顶点 $v$ 已经满足上述条件则停止。否则，与顶点 $v$ 邻接的某个子树的顶点数必然大于 $n/2$。假设顶点 $v$ 与该子树中的顶点 $w$ 邻接，那么我们就把顶点 $w$ 作为新的顶点 $v$。不断重复这一步骤，必然会在有限步停止。这是因为对于移动中所用的边 $(v, w)$，必有 $v$ 侧的子树的顶点数小于 $n/2$，$w$ 侧的子树的顶点数大于 $n/2$，所以不可能再从 $w$ 移动到 $v$。因而该操作永远不会回到已经经过的顶点，而顶点数又是有限的，所以算法必然在有限步终止。 树中所有顶点到某个顶点的距离和中，到重心的距离和是最小的；如果有两个重心，那么到它们的距离和一样。 把两棵树通过一条边相连得到一棵新的树，那么新的树的重心在连接原来两棵树的重心的路径上。 在一棵树上添加或删除一个叶子，那么它的重心最多只移动一条边的距离。 更多证明请见：树的重心的性质及其证明 - suxxsfe - 博客园 (cnblogs.com) 寻找树的重心 根据重心的定义，先以 $1$ 为根进行 DFS。在递归中计算子树大小 $siz[u]$，并求出最大的子树的大小 $maxs[u]$，比较出重心 $centroid$。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 void getCentroid(int u, int fa, int s) {  siz[u] = 1;  maxs[u] = 0;  for (int i = head[u]; i !