https://blog.chungzh.cn/blog/%E6%A0%91%E7%8A%B6%E6%95%B0%E7%BB%84/Recent content in 树状数组 on Zirnc's BlogHugo -- gohugo.iozh-cnMon, 15 Aug 2022 00:00:00 +0000https://blog.chungzh.cn/oi-history/binary-indexed-tree/Mon, 15 Aug 2022 00:00:00 +0000https://blog.chungzh.cn/oi-history/binary-indexed-tree/早就学习过线段树了，但惭愧的是更简单的树状数组却一直没有深入理解过，仅仅停留在背代码的层级。今天认真学习一下树状数组。 引入 树状数组（Binary Index Tree, BIT / Fenwick Tree）支持单点修改和区间查询两种简单操作，时间复杂度均为 $O(\log n)$。它的实现比线段树简单，速度更快，但功能稍逊一筹。 原理 我们用 $C_i$ 来表示 $A$ 数组的一段区间，定义 $x$ 的二进制表示中，最低位的 $1$ 的位置为 $\operatorname{lowbit}(x)$，那么用 $C_i$ 代表 $A$ 数组的下标区间 $[i-\operatorname{lowbit}(i)+1, i]$。举个例子，$4_{(10)} = 100_{(2)}$，$100_{(2)}-\operatorname{lowbit}(100_{(2)})+1_{(2)}=1_{(2)}=1_{(10)}$，那么 $C_4$ 代表的区间就是 $[1, 4]$。通过这样的设计，树状数组将结点数压缩到与数组长度相同，不像线段树一样需要 $2n$ 个结点。 之所以会有这个特点，是因为对于位置 $i$，其对应的结点所在的高度就是 $\operatorname{lowbit}(i)$ 的位数。第一层结点为全体 $2^0 + 2^1k$，即所有 $\operatorname{lowbit}(i)=1$ 的数字；第二层结点为全体 $2^1 + 2^2k$ ，即所有 $\operatorname{lowbit}(i)=2$ 的数字；第三层结点为全体 $2^2 + 2^3k$ ，即所有 $\operatorname{lowbit}(i)=4$ 的数字；以此类推。也就是说，对于位置 $i$，在这个位置往上垂直追溯，能追溯的层数就是 $i$ 的二进制表示的末尾 $0$ 数量。而结点高度又决定了其子树的大小，于是它所代表的信息区间大小也就一定是 $2^{i的末尾0数量}=\operatorname{lowbit}(i)$。 *来源于参考资料 1 实现 $\operatorname{lowbit}$ 如何计算呢？我们有这样一条公式：$\operatorname{lowbit}(x)=(x)&(-x)$。在计算机中，有符号数采用补码表示。在补码表示下，$x$ 的相反数 -x = ~x + 1，也就是按位非再加一。例如 $x$ 的最后一个 $1$ 的位置附近是 $\cdots 01000\cdots$，按位非之后是 $\cdots 10111\cdots$，加一再变成 $\cdots 11000\cdots$；而前面每一位都与原来相反。这时我们再把它和 $x$ 按位与，得到的结果为 $01000\cdots$ 即 $\operatorname{lowbit}(x)$。