https://blog.chungzh.cn/blog/%E6%96%9C%E7%8E%87%E4%BC%98%E5%8C%96/Recent content in 斜率优化 on Zirnc's BlogHugo -- gohugo.iozh-cnSat, 13 Aug 2022 21:59:00 -0800https://blog.chungzh.cn/oi-history/slope-opt-dp/Sat, 13 Aug 2022 21:59:00 -0800https://blog.chungzh.cn/oi-history/slope-opt-dp/X(j) 和斜率均单调的斜率优化 这是第一次学斜率优化学会的。 例题 [HNOI2008]玩具装箱 Luogu LOJ 题目描述： P 教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。 P 教授有编号为 $1 \cdots n$ 的 $n$ 件玩具，第 $i$ 件玩具经过压缩后的一维长度为 $C_i$。 为了方便整理，P 教授要求： 在一个一维容器中的玩具编号是连续的。 同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物。形式地说，如果将第 $i$ 件玩具到第 $j$ 个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 $x=j-i+\sum\limits_{k=i}^{j}C_k$。 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为 $x$，其制作费用为 $(x-L)^2$。其中 $L$ 是一个常量。P 教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过 $L$。但他希望所有容器的总费用最小。 $1 \leq n \leq 5 \times 10^4$，$1 \leq L \leq 10^7$，$1 \leq C_i \leq 10^7$。 朴素 DP 做法 令状态 $f(i)$ 表示把前 $i$ 个玩具装箱的最小费用，$s(i)$ 为 $c_i$ 的前缀和。 假如将玩具 $j$ 到 $i$ 装在同一箱子，容易列出状态转移方程 $f(i) = \min_{1\le j\le i}{f(j-1)+(i-j+s(i)-s(j-1)-L)^2}$。