https://blog.chungzh.cn/blog/%E6%95%B0%E5%AD%A6/Recent content in 数学 on Zirnc's BlogHugo -- gohugo.iozh-cnSun, 21 May 2023 00:00:00 +0000https://blog.chungzh.cn/oi-history/cf-559c/Sun, 21 May 2023 00:00:00 +0000https://blog.chungzh.cn/oi-history/cf-559c/CF-559C Gerald and Giant Chess / AtCoder DP-Y Grid 2 给定一个 $H*W$ 的棋盘，棋盘上只有 $N$ 个格子是黑色的，其他格子都是白色的。在棋盘左上角有一个卒，每一步可以向右或者向下移动一格，并且不能移动到黑色格子中。求这个卒从左上角移动到右下角，一共有多少种可能的路线。 $(1 ≤ h, w ≤ 105, 1 ≤ n ≤ 2000)$ $O(hw)$ 的暴力 DP 很好想，但是过不了。 假设没有障碍，从 $(1, 1)$ 到 $(i, j)$ 的方案数是 $C_{i+j-2}^{i-1}$（等于 $C_{i+j-2}^{j-1}$）。可以这么理解：可以用 $D, R$ 来表示一条路径，那么从 $(1, 1)$ 到 $(i, j)$ 的路径中有 $i-1$ 个 $D$ 和 $j-1$ 个 $R$。于是问题转化为从 $i+j-2$ 个位置中选 $i-1$ 个放 $D$ 的方案数。 如果有一个障碍，从正面统计方案数很困难，正难则反，考虑将总的方案数减去经过障碍的方案数。假设障碍的位置是 $(x, y)$，终点是 $(h, w)$，经过障碍的方案数就是 $C_{x+y-2}^{x-1} * C_{h-x+w-y}^{h-x}$（乘法原理）。https://blog.chungzh.cn/oi-history/number-theory-1/Fri, 05 May 2023 00:00:00 +0000https://blog.chungzh.cn/oi-history/number-theory-1/我也不知道这是从哪本书上抠来的？ 整除 定义 1：如果 $a$ 和 $b$ 为整数且 $a \ne 0$，我们说 $a$ 整除 $b$ 是指存在整数 $c$ 使得 $b=ac$。如果 $a$ 整除 $b$，我们还称 $a$ 是 $b$ 的一个因子，且称 $b$ 是 $a$ 的倍数。 如果 $a$ 整除 $b$，则将其记为 $a \mid b$，如果 $a$ 不能整除 $b$，则记其为 $a \nmid b$。 定理 1：如果 $a, b$ 和 $c$ 是整数，且 $a \mid b, b \mid c$，则 $a \mid c$。 定理 2：如果 $a, b, m$ 和 $n$ 为整数，且 $c \mid a, c \mid b$，则 $c \mid (ma+nb)$。https://blog.chungzh.cn/oi-history/gauss/Fri, 28 Apr 2023 00:00:00 +0000https://blog.chungzh.cn/oi-history/gauss/消元法及高斯消元法思想 消元法是将方程组中的一方程的未知数用含有另一未知数的代数式表示，并将其带入到另一方程中，这就消去了一未知数，得到一解；或将方程组中的一方程倍乘某个常数加到另外一方程中去，也可达到消去一未知数的目的。消元法主要用于二元一次方程组的求解。 消元法理论的核心 消元法理论的核心主要如下： 两方程互换，解不变； 一方程乘以非零数 $k$，解不变； 一方程乘以数 $k$ 加上另一方程，解不变。 过程 解方程组： $$ \begin{cases} 2x_1+x_2-x_3=8 \ -3x_1-x_2+2x_3=-11 \ -2x_1+x_2+2x_3=-3 \end{cases} $$ 写成矩阵的形式为： $$ \left[\begin{matrix} 2 & 1 & -1 \ -3 & -1 & 2 \ -2 & 1 & 2 \end{matrix} \middle| \begin{matrix} 8 \ -11 \ -3 \end{matrix} \right] $$ 这种矩阵称为增广矩阵。所谓增广矩阵，即为方程组系数矩阵 $A$ 与常数列 $b$ 的并生成的新矩阵，即 $(A | b)$，增广矩阵行初等变换化为行最简形，即是利用了高斯消元法的思想理念，省略了变量而用变量的系数位置表示变量，增广矩阵中用竖线隔开了系数矩阵和常数列，代表了等于符号。 我们从上到下依次处理每一行，处理完第 $i$ 行后，让 $A_{ii}$ 非 $0$，而 $A_{ji}(j\gt i)$ 均为 $0$。过程如下。https://blog.chungzh.cn/oi-history/euler/Sat, 01 Apr 2023 00:00:00 +0000https://blog.chungzh.cn/oi-history/euler/定义 欧拉函数 $\varphi(n)$ 表示小于等于 $n$，且与 $n$ 互质的正整数的个数。 如何求 $\varphi(n)$？ 比如 $varphi(12)$ 把 $12$ 质因数分解，$12=2^2*3$，其实就是得到了 $2$ 和 $3$ 两个互异的质因子。 然后把 $2$ 的倍数和 $3$ 的倍数都删掉。 $2$ 的倍数：$2,4,6,8,10,12$ $3$ 的倍数：$3,6,9,12$ 但是是 $6$ 和 $12$ 重复减了。所以还要把既是 $2$ 的倍数又是 $3$ 的倍数的数加回来。所以这样写：$12 - 12/2 - 12/3 + 12/(2*3)$。运用了容斥原理。 性质 欧拉函数是积性函数。 积性是什么意思呢？如果有 $\gcd(a, b) = 1$，那么 $\varphi(a \times b) = \varphi(a) \times \varphi(b)$。 特别地，当 $n$ 是奇数时 $\varphi(2n) = \varphi(n)$。 $n = \sum_{d \mid n}{\varphi(d)}$。https://blog.chungzh.cn/oi-history/slope-opt-dp/Sat, 13 Aug 2022 21:59:00 -0800https://blog.chungzh.cn/oi-history/slope-opt-dp/X(j) 和斜率均单调的斜率优化 这是第一次学斜率优化学会的。 例题 [HNOI2008]玩具装箱 Luogu LOJ 题目描述： P 教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。 P 教授有编号为 $1 \cdots n$ 的 $n$ 件玩具，第 $i$ 件玩具经过压缩后的一维长度为 $C_i$。 为了方便整理，P 教授要求： 在一个一维容器中的玩具编号是连续的。 同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物。形式地说，如果将第 $i$ 件玩具到第 $j$ 个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 $x=j-i+\sum\limits_{k=i}^{j}C_k$。 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为 $x$，其制作费用为 $(x-L)^2$。其中 $L$ 是一个常量。P 教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过 $L$。但他希望所有容器的总费用最小。 $1 \leq n \leq 5 \times 10^4$，$1 \leq L \leq 10^7$，$1 \leq C_i \leq 10^7$。 朴素 DP 做法 令状态 $f(i)$ 表示把前 $i$ 个玩具装箱的最小费用，$s(i)$ 为 $c_i$ 的前缀和。 假如将玩具 $j$ 到 $i$ 装在同一箱子，容易列出状态转移方程 $f(i) = \min_{1\le j\le i}{f(j-1)+(i-j+s(i)-s(j-1)-L)^2}$。