https://blog.chungzh.cn/blog/%E6%8B%93%E6%89%91%E6%8E%92%E5%BA%8F/Recent content in 拓扑排序 on Zirnc's BlogHugo -- gohugo.iozh-cnFri, 26 Aug 2022 00:00:00 +0000https://blog.chungzh.cn/oi-history/cf-1385e/Fri, 26 Aug 2022 00:00:00 +0000https://blog.chungzh.cn/oi-history/cf-1385e/CF-1385E Directing Edges 题意 给定一个由有向边与无向边组成的图，现在需要你把所有的无向边变成有向边，使得形成的图中没有环。 如果可以做到请输出该图，否则直接输出"NO"。 分析 我们先只连接有向边，然后做一遍拓扑排序，如果失败了，就说明有环，输出 “NO”。 然后处理剩下的无向边。对于无向边 $(u, v)$，如果 $u$ 的拓扑序小于 $v$，那么令这条边的方向是 $u\rightarrow v$。否则，方向就是 $v\rightarrow u$。因为这条边是从拓扑序小的点指向拓扑序大的点，所以必然不会形成环。 RECORD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 #include <algorithm>#include <cstdio>#include <cstring>#include <iostream>#include <vector> using namespace std; const int MAXN = 200005; int n, m; vector<int> G[MAXN]; int c[MAXN], topo[MAXN], id[MAXN], t, bn, x[MAXN], y[MAXN]; bool dfs(int u) { c[u] = -1; for (auto v : G[u]) { if (c[v] < 0) return false; else if (c[v] == 0 && !https://blog.chungzh.cn/oi-history/topo-sort/Fri, 26 Aug 2022 00:00:00 +0000https://blog.chungzh.cn/oi-history/topo-sort/引入 给定一张有向无环图（DAG, Directed Acyclic Graph），对其顶点进行排序，使得对于每条从 $u$ 到 $v$ 的有向边 $(u, v)$，$u$ 在排序中都在 $v$ 的前面。这种排序就称为拓扑排序（Topological sorting）。 当且仅当图中没有定向环时（即有向无环图），才有可能进行拓扑排序。如果排序失败，就说明该有向图存在环，不是 DAG。 任何有向无环图至少有一个拓扑排序。 举例：在某校的选课系统中，存在这样的规则：每门课可能有若干门先修课，如果要修读某一门课，则必须要先修读此课程所要求的先修课后才能修读。假设一个学生同时只能修读一门课程，那么，被选课系统允许的他修完他需要所有课程的顺序是一个拓扑序。 在这个例子中，每一门课程对应有向图中的一个顶点，每一个先修关系对应一条有向边（从先修课指向需要先修课的课）。 算法 Kahn 算法 初始状态下，集合 $S$ 装着所有入度为 $0$ 的点，$L$ 是一个空列表。 每次从 $S$ 中任意取出一个点 $u$ 放入 $L$, 然后将 $u$ 的所有边 $(u, v_1), (u, v_2), (u, v_3) \cdots$ 删除。对于边 $(u, v)$，若将该边删除后点 $v$ 的入度变为 $0$，则将 $v$ 放入 $S$ 中。 不断重复以上过程，直到集合 $S$ 为空。检查图中是否存在任何边，如果有，那么这个图一定有环路，否则返回 $L$，$L$ 中顶点的顺序就是拓扑排序的结果。 基本上就是 BFS 的框架。 代码实现： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 int n, m; vector<int> G[MAXN]; int in[MAXN]; // 存储每个结点的入度 bool toposort() { vector<int> L; queue<int> S; for (int i = 1; i <= n; i++) if (in[i] == 0) S.