https://blog.chungzh.cn/blog/%E5%8F%AF%E6%8C%81%E4%B9%85%E5%8C%96%E7%BA%BF%E6%AE%B5%E6%A0%91/Recent content in 可持久化线段树 on Zirnc's BlogHugo -- gohugo.iozh-cnFri, 14 Apr 2023 00:00:00 +0000https://blog.chungzh.cn/oi-history/abc-133f/Fri, 14 Apr 2023 00:00:00 +0000https://blog.chungzh.cn/oi-history/abc-133f/F - Colorful Tree 题意 有一个 $N$ 个节点的树，每条边有颜色、边权。 您需要处理 $Q$ 个询问，每个询问给出 $x_i,y_i,u_i,v_i$，您需要求出假定所有颜色为 $x_i$ 的边边权全部变成 $y_i$ 后，$u_i$ 和 $v_i$ 之间的距离。询问之间互相独立。 分析 DFS 序的思想套上主席树，root[i] 的权值线段树存从根到 $i$ 结点的每种颜色的边数（$cnt$），以及该颜色的长度和（$sum$）。顺便记录从根到 $i$ 结点的距离。利用差分，$dis(i, j) = dis(root, i)+dis(root, j)-2dis(root, LCA(i, j)$。然后 $i, j$ 的路径中该颜色的长度和也用同样的方法求出。那么答案就是 $dis(i, j) - \text{该颜色的长度和} + \text{该颜色的边数}*y$。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 #include <bits/stdc++.https://blog.chungzh.cn/oi-history/persistent-seg-tree/Sun, 14 Aug 2022 00:00:00 +0000https://blog.chungzh.cn/oi-history/persistent-seg-tree/动态开点线段树 常规写法的线段树只能维护不算很长的数组，由于空间不够，对于 $10^9$ 级别的数组却不能很好地维护。所以，我们要用到动态开点线段树。 核心思想：节点只有在有需要的时候才被创建。 比如说，要求在一个长度为 $n < 10^9$ 的数组上实现区间求和、单点修改的操作，初始数组元素值均为 0。 那么，我们一开始只创建一个根结点，接下来遵循动态开点的核心思想进行操作。 比如下面这张图的例子，我们依次修改 1, 2, 8 三个结点，途中创建了必要的结点。而在图中没有显示的空结点并没有被创建，视为 0，这样就节省了空间。 那么对于区间修改时，会有 pushdown() 操作，可能会修改一个不存在的结点。这时有两个解决方案： 在 pushdown() 时，如果缺少孩子，就直接创建一个新的孩子就可以了。 使用 标记永久化 技巧（李超线段树），让结点不再进行 pushdown()，进一步节省了空间。 复杂度分析：单次操作的时间复杂度是不变的，为 $O(\log n)$。对于空间复杂度，由于每次操作都有可能创建并访问全新的一系列结点，因此 $m$ 次操作的空间复杂度是 $O(m\log n)$，不再是原本线段树的 $O(n)$。 代码实现： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 int n, cnt, root; // cnt 表示当前结点个数 int sum[N*2], ls[N*2], rs[N*2]; void upd(int& rt, int l, int r, int p, int f) { // 注意这里传入一个引用，可以修改 ls 或 rs 数组 if (!