https://blog.chungzh.cn/blog/%E5%8D%95%E8%B0%83%E9%98%9F%E5%88%97/Recent content in 单调队列 on Zirnc's BlogHugo -- gohugo.iozh-cnFri, 12 Aug 2022 00:00:00 +0000https://blog.chungzh.cn/oi-history/luogu-p1776/Fri, 12 Aug 2022 00:00:00 +0000https://blog.chungzh.cn/oi-history/luogu-p1776/Luogu-P1776 宝物筛选 题意 终于，破解了千年的难题。小 FF 找到了王室的宝物室，里面堆满了无数价值连城的宝物。 这下小 FF 可发财了，嘎嘎。但是这里的宝物实在是太多了，小 FF 的采集车似乎装不下那么多宝物。看来小 FF 只能含泪舍弃其中的一部分宝物了。 小 FF 对洞穴里的宝物进行了整理，他发现每样宝物都有一件或者多件。他粗略估算了下每样宝物的价值，之后开始了宝物筛选工作：小 FF 有一个最大载重为 $W$ 的采集车，洞穴里总共有 $n$ 种宝物，每种宝物的价值为 $v_i$，重量为 $w_i$，每种宝物有 $m_i$ 件。小 FF 希望在采集车不超载的前提下，选择一些宝物装进采集车，使得它们的价值和最大。 对于 $100%$ 的数据，$n\leq \sum m_i \leq 10^5$，$0\le W\leq 4\times 10^4$，$1\leq n\le 100$。 解法 1：二进制优化 每一个数都可以表示成 $2$ 的幂的和（因为每一个数都可以用二进制表示）。 时间复杂度：$O(nW\sum \log m_i)$ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 #include <bits/stdc++.https://blog.chungzh.cn/oi-history/luogu-p2254/Fri, 12 Aug 2022 00:00:00 +0000https://blog.chungzh.cn/oi-history/luogu-p2254/「NOI2005」瑰丽华尔兹 题意 不妨认为舞厅是一个 $N$ 行 $M$ 列的矩阵，矩阵中的某些方格上堆放了一些家具，其他的则是空地。钢琴可以在空地上滑动，但不能撞上家具或滑出舞厅，否则会损坏钢琴和家具，引来难缠的船长。每个时刻，钢琴都会随着船体倾斜的方向向相邻的方格滑动一格，相邻的方格可以是向东、向西、向南或向北的。而艾米丽可以选择施魔法或不施魔法：如果不施魔法，则钢琴会滑动；如果施魔法，则钢琴会原地不动。 艾米丽是个天使，她知道每段时间的船体的倾斜情况。她想使钢琴在舞厅里滑行的路程尽量长，这样 1900 会非常高兴，同时也有利于治疗托尼的晕船。但艾米丽还太小，不会算，所以希望你能帮助她。 $100%$ 的数据中，$1\leq N, M \leq 200$，$K \leq 200$，$T\leq 40000$。 分析 首先我们定义一下状态。设 $dp[t][i][j]$ 表示 t 时刻，在 $(i, j)$ 滑行的最长路程长度。状态转移方程是 $dp[t][i][j] = \max(dp[t-1][i][j], dp[t-1][i^{’}][j^{’}])$，$i^{’}$ 和 $j^{’}$ 是合法的走过来的位置，取决于 $t$ 时刻船体倾斜的方向。 这样设计状态的话，时间复杂度为 $O(TNM)$，空间似乎也是问题。 这时候我们发现还有一个变量 $K$ 没有用到，考虑把状态设为 $dp[t][i][j]$ 表示在第 $t$ 时间段内，在 $(i, j)$ 滑行的最长路程长度。时间复杂度为 $O(KN^3)$，暂时还不行。 我们看看能不能进一步优化。下面假设当前船体倾斜的方向是东。设当前时间段长度是 $tim$，上一个时间段钢琴的位置在 $(i, m)$，那么 $dp[t][i][j] = \max_{j-m<=tim}{dp[t-1][i][m]+j-m}$。在这个式子中，只有 $m$ 一个变量，并且 $j-m<=tim$，合法决策在一段相邻区间内，可以用到单调队列优化！ 对于两个决策 $m_1 < m_2$，$m_2$ 优于 $m_1$ 时仅当： $$ \begin{aligned} dp[t-1][i][m_1]+(j-m_1) & < dp[t-1][i][m_2]+(j-m_2) \\ dp[t-1][i][m+1]+m_2-m_1 & < dp[t-1][i][m_2] \end{aligned} $$