https://blog.chungzh.cn/blog/%E4%BA%8C%E5%88%86/Recent content in 二分 on Zirnc's BlogHugo -- gohugo.iozh-cnSun, 23 Oct 2022 00:00:00 +0000https://blog.chungzh.cn/oi-history/arc-101b/Sun, 23 Oct 2022 00:00:00 +0000https://blog.chungzh.cn/oi-history/arc-101b/D - Median of Medians 题意 给定一个整数序列 $a[1],a[2],….a[n]$，那么对于 $a$ 序列的任意一个连续子序列 $a[L],a[L+1],……a[R]$，其中 $1<=L<=R<=n$, 求出该连续子序列的中位数，记为 $b[L][R]$。 显然 $b$ 数组共有 $n*(n+1)/2$ 个整数。 输出 $b$ 数组的中位数。 分析 关于中位数有一个 Trick： 我们二分一个数 $mid$，对于原序列中 $\ge mid$ 的数，我们标记为 $1$；反之，对于 $< mid$ 的数，我们标记为 $−1$。 标记结束后，如果一个区间内的标记和大于等于 $0$，说明中位数大于等于 $mid$，那么向右二分；反之向左。 对于本题，我们对 $b$ 数组二分它的中位数 $mid$，并按 $mid$ 对 $a$ 数组进行 $+1,-1$ 标记。然后问题就变为了：统计有多少个区间的标记和 $\ge 0$。 记这个区间数为 $cnt$，若 $cnt\ge \lfloor \frac{n(n+1)/2+1}{2} \rfloor$，说明 $b$ 数组实际中位数 $\ge mid$，向右二分。否则向左二分。 怎么求有多少个区间的标记和 $\ge 0$ 呢？我们可以做一个前缀和 $s$，统计 $i < j$ 且 $s[i] \le s[j]$ 的个数。这是一个二维偏序问题，可以搭配树状数组解决。