Treap = Tree + Heap

二叉搜索树(BST)

在学习 Treap 之前,需要先了解一下二叉搜索树(BST, Binary Search Tree):

  • 设 $x$ 是二叉搜索树中的一个结点。如果 $y$ 是 $x$ 左子树中的一个结点,那么 $y.key \lt x.key$。如果 $y$ 是 $x$ 右子树中的一个结点,那么 $y.key \gt x.key$。

  • BST 上的基本操作所花费的时间与这棵树的高度成正比。对于一个有 $n$ 个结点的二叉搜索树中,这些操作的最优时间复杂度为 $O(\log n)$,最坏为 $O(n)$。随机构造这样一棵二叉搜索树的期望高度为 $O(\log n)$。然而,当这棵树退化成链时,则同样的操作就要花费 $O(n)$ 的最坏运行时间。

由于普通 BST 容易退化,对于它的实现就不再赘述。在实践中需要使用如 Treap 这样的平衡二叉搜索树。

Treap

顾名思义,Treap 是树和堆的结合。它的数据结构既是一个二叉搜索树,又是一个二叉堆。

在 Treap 的每个结点中,除了 $key$ 值,还要保存一个 $fix$(更常见的是 $priority$)值。这个值是随机值,以它为依据来同时建立最大堆(或最小堆)。因为 $fix$ 值是随机的,所以可以让这棵树更加平衡,高度更接近 $O(\log n)$。它的各种操作期望时间复杂度都是 $O(\log n)$。

旋转式 Treap

旋转式 Treap 的常数较小。

旋转

左旋/右旋操作不会破坏 BST 的性质,并可以通过它来维护堆,使树平衡。

zigzag.jpg

如图,以右旋为例。假设现在左边树 $b$ 的 $fix$ 值大于 $a$ 的 $fix$ 值,然而 $b$ 是 $a$ 的儿子,那么就不符合最大堆的性质,需要进行右旋,变成了右边的树。

但是为什么在旋转的过程中没有破坏 BST 的性质呢?设 $c \in C, d \in D, e \in E$。由左树知 $c \lt b \lt d \lt a \lt e$。再由旋转之后树的结构可以得出 $c \lt b \lt d \lt a \lt e$,这两个式子是一样的。所以,这棵树依然是 BST。

在插入和删除操作中都要按需进行旋转操作。

插入

根据 BST 的性质,找到相应的位置创建新叶子结点就可以了。如果不符合最大堆性质,进行旋转操作。

删除

删除一个元素时,可以对被删除的结点分类讨论:

  1. 没有子结点:直接就成空的了
  2. 只有一个子结点:把被删除结点设成它仅有的儿子即可
  3. 有两个子结点:选出两个儿子中 $fix$ 值较大的一个,通过旋转操作把它设成新的根,这样要删除的结点就只有一个儿子了,按照情况 2 处理。这种方法保证满足了 BST 和最大堆的性质。

在程序实现时,实际上情况 1 和 2 的代码是一样的,所以只用分两类。

P3369 【模板】普通平衡树 - 洛谷 为例,代码如下。

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#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;
const int INF = 1000000009;
struct NODE {
  int val, fix, size; // size 指树的总结点数
  NODE *left, *right;
  NODE(const int val) : val(val) {
    fix = rand();
    left = right = NULL;
    size = 1;
  }
};
void maintain(NODE *&p) {
  p->size = 1;
  if (p->left != NULL)
    p->size += p->left->size;
  if (p->right != NULL)
    p->size += p->right->size;
}
void rightRotate(NODE *&p) {
  NODE *tmp = p->left;
  p->left = tmp->right;
  tmp->right = p;
  p = tmp;
  maintain(tmp->right);
  maintain(tmp);
}
void leftRotate(NODE *&p) {
  NODE *tmp = p->right;
  p->right = tmp->left;
  tmp->left = p;
  p = tmp;
  maintain(tmp->left);
  maintain(tmp);
}
void insert(NODE *&p, const int value) {
  if (p == NULL) {
    p = new NODE(value);
  } else if (value <= p->val) {
    insert(p->left, value);
    if (p->left->fix < p->fix)
      rightRotate(p);
  } else {
    insert(p->right, value);
    if (p->right->fix < p->fix)
      leftRotate(p);
  }
  maintain(p);
}
int count(const NODE *p, const int value) {
  if (!p)
    return 0;
  if (p->val == value)
    return 1;
  if (value <= p->val)
    return count(p->left, value);
  return count(p->right, value);
}
void remove(NODE *&p, const int value) {
  if (!p)
    return;
  if (p->val == value) {
    if (p->left == NULL || p->right == NULL) {
      NODE *tmp = p;
      if (p->right)
        p = p->right;
      else
        p = p->left;
      delete tmp;
    } else if (p->left->fix < p->right->fix) {
      rightRotate(p);
      remove(p->right, value);
      maintain(p);
    } else {
      leftRotate(p);
      remove(p->left, value);
      maintain(p);
    }
  } else if (value < p->val) {
    remove(p->left, value);
    maintain(p);
  } else {
    remove(p->right, value);
    maintain(p);
  }
}
int getrank(const NODE *p, int value) {
  if (!p)
    return INF;
  int leftsize = 0;
  if (p->left != NULL)
    leftsize = p->left->size;
  if (p->val == value)
    return min(leftsize + 1, getrank(p->left, value));
  else if (value < p->val)
    return getrank(p->left, value);
  else if (value > p->val)
    return leftsize + 1 + getrank(p->right, value);
}
int find(const NODE *p, int rank) {
  if (!p)
    return 0;
  int leftsize = 0;
  if (p->left != NULL)
    leftsize = p->left->size;
  if (leftsize >= rank)
    return find(p->left, rank);
  else if (leftsize + 1 == rank)
    return p->val;
  else
    return find(p->right, rank - leftsize - 1);
}
int getpre(const NODE *p, int value) { // 前驱
  if (!p)
    return -INF;
  if (p->val >= value)
    return getpre(p->left, value);
  else
    return max(p->val, getpre(p->right, value));
}
int getnext(const NODE *p, int value) { // 后继
  if (!p)
    return INF;
  if (p->val <= value)
    return getnext(p->right, value);
  else
    return min(p->val, getnext(p->left, value));
}
int n;
NODE *root;
int main() {
  scanf("%d", &n);
  while (n-- > 0) {
    int opt, x;
    scanf("%d %d", &opt, &x);
    if (opt == 1) {
      insert(root, x);
    } else if (opt == 2) {
      remove(root, x);
    } else if (opt == 3) {
      printf("%d\n", getrank(root, x));
    } else if (opt == 4) {
      printf("%d\n", find(root, x));
    } else if (opt == 5) {
      printf("%d\n", getpre(root, x));
    } else if (opt == 6) {
      printf("%d\n", getnext(root, x));
    }
  }
  return 0;
}

无旋 Treap

无旋 Treap 的核心操作是分裂、合并。

分裂(Split)

分裂操作会将原 Treap 一分为二,第一个 Treap 中的结点关键值都小于等于 $key$,第二个中都大于 $key$。使用递归实现。

若当前关键值大于 $key$,那么当前结点连同右子树都属于第二个 Treap,继续往左子树递归。

若当前关键值小于等于 $key$,那当前结点连同左子树都属于第一个 Treap。继续往右子树递归。

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pair<NODE *, NODE *> split(NODE *u, const int value) {
  if (u == nullptr)
    return make_pair(nullptr, nullptr);
  if (u->value > value) {
    auto tmp = split(u->ch[0], value);
    u->ch[0] = tmp.second;
    maintain(u);
    return make_pair(tmp.first, u);
  } else {
    auto tmp = split(u->ch[1], value);
    u->ch[1] = tmp.first;
    maintain(u);
    return make_pair(u, tmp.second);
  }
}

合并(Merge)

合并函数接受两棵树,其中第一棵的值都小于第二棵。每一次根据两棵树的根的 $fix$ 值来确定新树的根,然后递归合并子树。

当两棵树任何一个为空时,返回另一个。

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NODE *merge(NODE *l, NODE *r) {
  if (l == nullptr)
    return r;
  if (r == nullptr)
    return l;
  if (l->fix < r->fix) {
    l->ch[1] = merge(l->ch[1], r);
    maintain(l);
    return l;
  } // else
  r->ch[0] = merge(l, r->ch[0]);
  maintain(r);
  return r;
}

插入

将树分裂成两个部分:$A={x|x \le key}$、$B={x|x \gt key}$,先将要插入的值合并入 $A$,最后合并 $A$ 和 $B$。

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void insert(int value) {
  auto tmp = split(root, value);
  tmp.first = merge(tmp.first, new NODE(value));
  root = merge(tmp.first, tmp.second);
}

删除

将树分裂成三个部分:$A={x|x \lt key}$、$B={x|x = key}$、$C={x|x \gt key}$,然后合并 $A$ 和 $C$。

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void erase(int value) {
  auto tmp = split(root, value - 1);
  auto tmp2 = split(tmp.second, value);
  delete tmp2.first;
  root = merge(tmp.first, tmp2.second);
}

致谢: